Mesures & incertitudes

Le mesurage ou mesure est le processus expérimental qui a pour but, la détermination de la valeur d’une grandeur physique :

une distance,
une tension électrique,
la masse d’un objet
…

La valeur exacte de cette grandeur est impossible à obtenir expérimentalement à cause de 2 types d’erreur dont la source peut être l’expérimentateur, l’appareil ou la méthode de mesure :

les erreurs systématiques. Exemples :
- appareil mal calibré
- mauvaise utilisation de l’appareil de mesure (choix du calibre, suppression de la composante continue du signal,…)
- point de mesure mal déterminé
- …
les erreurs accidentelles. Exemples :
- fluctuation de l’affichage de l’appareil de mesure
- étourderie durant la lecture de la mesure
- …

Pour caractériser (voire détecter) ces erreurs, on peut répéter une mesure plusieurs fois pour obtenir une série de mesures. Ceci permettra d’avoir un regard critique sur les valeurs relevées et donc d’exprimer le résultat d’une mesure en tenant compte des erreurs.

En règle général, le résultat d’une série de mesures doit comporter :

la moyenne estimée
l’incertitude-type précédé du signe ±
l’unité de mesure (si applicable)

Exemple pour une masse : m = 200 ± 5g
avec :

200, la masse moyenne (exprimée en grammes) sur la série de mesures
5, l’incertitude-type (exprimée aussi en grammes)
‘g’ le symbole de l’unité (‘g’ = gramme)

La moyenne x_m d’une série de n mesures est égale à la somme de ces mesures (x₁ + x₂ + x₃ + … + x_n) divisée par leur nombre. En mathématique, ceci s’exprime sous la forme :

L'écart-type est une grandeur qui sert à mesurer la dispersion, ou l’étalement, de la série de mesures autour de la moyenne. Plus une série de mesures est homogène, plus son écart-type est faible.

Généralement, on le note σ (“sigma”) et son expression mathématique est :

Vous verrez parfois une formule différente pour l’écart-type dans laquelle on divise par n et non n-1.

La formule avec n-1 concerne l’écart-type d’une population estimée à partir d’un échantillon et non de la population entière. Celle-ci s’applique donc bien dans notre cas puisque la série de mesures ne représente qu’un échantillon de la valeur de la grandeur physique qu’on mesure.

En revanche, si on calcule l’écart-type des notes obtenues à un devoir par les étudiants d’une classe, on utilisera la formule dans laquelle on divise par n (et non n-1) puisque celui-ci concernera la totalité des notes obtenues et non un échantillon.

De toute façon, dès que la taille de l’échantillon est de l’ordre de la centaine ou plus, diviser par n ou n-1 ne change plus grand chose au résultat.

L'incertitude-type, ou incertitude absolue, sur la valeur moyenne d’une série de mesures d’une grandeur x est notée U(x) et a la même unité que x. Elle est liée à l’exploitation d’un nombre important de valeurs mesurées et à l’écart-type.

Comme dans la pratique on ne peut réaliser qu’un nombre limité de mesures, on multiplie généralement l’incertitude type par un facteur k, appelé facteur d’élargissement, pour obtenir une incertitude type élargie dont l’expression est :

Cette incertitude type élargie permet de définir un intervalle de confiance c’est-à-dire l’intervalle qui a le plus de chances de contenir la vraie valeur de la grandeur qu’on mesure.

Pour un intervalle de confiance de 95%, k vaut environ 2 lorsque n est de l’ordre de 20.

Ainsi, si le résultat d’une série de 20 mesures donne m = 200 ± 5g, cela signifie qu’il y a 95% de chances pour que la masse m soit comprise entre 195g et 205g.

Application

Une série de 15 mesures de la masse d’un objet a donné les résultats suivants :

Masse mesurée (g)	106	107	108	109	110	111	112	113
Fréquence	1	1	2	3	4	2	1	1

La moyenne de cette série de mesures vaut :

L’écart type vaut :

L’incertitude type élargie vaut :

Le résultat de la série de mesure s’exprimera alors : m = 110 ± 1g

On peut tracer la répartition des mesures avec un diagramme en bâtons pour se rendre compte visuellement de la répartition des mesures.

Ce diagramme peut aussi permettre de déceler rapidement une erreur de mesure en étant trop éloignée des autres.

Code Python pour tracer le graphique en bâtons de la série de mesures :

bar-plot-mesures-masse.py

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

foo = 0o750 
print(f"{foo:o} en octal vaut {foo:d} en décimal, {foo:x} en hexadécimal et {foo:b} en binaire")

# valeurs mesurées au cours de la campagne de mesures
mesures = np.array([108, 106, 110, 107, 110, 108, 111, 109, 112, 109, 109, 110, 111, 113, 110])

# valeurs mesurées sans doublons et leur fréquence
masses, frequences = np.unique(mesures, return_counts = True)

# Création d'une figure
fig = plt.figure()

# Ajout d'un graphique dans la figure
graphe = fig.add_subplot(1 # nrows
    , 1 # ncols
    , 1 # index
    , xscale='linear'
    , xlabel=r'masse (g)'
    , ylabel=r'fréquence'
    )

# Tracé du graphique en bâtons
graphe.bar(masses, frequences)

# Configuration des grilles
plt.grid(which='major', color='black')

# Affichage du graphique
plt.show()

💻 Travail n° 1 Mesure de la masse d’un objet

🎯 Travail à faire :

Compléter le script Python ci-dessus pour lui faire calculer :

la moyenne de la série de mesures
l’écart type de la série de mesures
l’incertitude type élargie de la série de mesures

💻 Travail n° 2 Mesure de tension

🕮 Énoncé :

On dispose d’un système qui surveille une tension électrique en permanence. Les valeurs de tensions relevées automatiquement par le système sont stockées dans un fichier CSV (valeurs séparées par des virgules).

On souhaite établir la moyenne, la médiane, l’écart type, l’incertitude type élargie de la série de 500 mesures contenue dans le fichier analog-data.csv.

On souhaite également tracer la répartition des mesures.

Ce fichier contient des valeurs aberrantes provenant de défaillances temporaires dans la chaîne de mesure.

🎯 Travail à faire :

Coder un script Python qui :

récupère l’ensemble des mesures contenues dans le fichier analog-data.csv
calcule la moyenne et la valeur médiane de l’ensemble des mesures
filtre les valeurs aberrantes sachant qu’une valeur est considérée aberrante si elle est 10% supérieure ou inférieure à la valeur nominale qui vaut 24V.
calcule de nouveau la moyenne et la médiane sur le tableau filtré ainsi que l’écart type et l’incertitude type
trace le graphe en bâtons de la répartition des mesures

La lecture dans un tableau du contenu d’un fichier CSV peut se faire avec le fonction genfromtext() du module Numpy
Le module Numpy dispose des fonctions mean() et median() qui retournent respectivement la moyenne et la médiane d’une série de valeurs contenues dans un tableau
Le filtrage de valeurs peut se faire avec une liste en compréhension.
Ex. :
```
adultes = [a for a in agesPopulation if a >= 18 ] (1)
```
1 Construit un tableau de tous les ages des adultes faisant partie d’une population dont les ages sont recensés dans le tableau agesPopulation

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