Étude de la propagation d’une épidémie[1]

Présentation

Cet atelier vise à modéliser sous forme de suite numérique et étudier la propagation d’une maladie sur une population sachant que :

  • Un individu sain est un individu n’ayant jamais été touché par la maladie.

  • Un individu malade est un individu qui a été touché par la maladie et non guéri.

  • Un individu guéri est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri.

  • Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.

  • Les premières observations montrent que, d’un jour au suivant :

    • 5% des individus sains tombent malades.

    • 20% des individus malades guérissent.

✎ Travail n° 1 Application numérique

🕮 Énoncé

Pour tout entier naturel n, on note an , la proportion d’individus sains n jours après le début de l’expérience et bn la proportion d’individus malades n jours après le début de l’expérience.

On suppose qu’au début de l’expérience tous les individus sont sains : a0 = 1 et b0 = 0.

🎯 Travail à faire :

  1. Calculer a1 et b1.

  2. Montrer que a2 = 0.9025 et b2 = 0.0875.

  3. Exprimer an+1 en fonction de an.
    En déduire la nature de la suite (an) et l’expression de an en fonction de n.

  4. Exprimer bn+1 en fonction de an et bn.

💻 Travail n° 2 Approche informatique

🎯 Travail à faire :

  1. Proposer un algorithme qui permet de déterminer le pic de l’épidémie sur une période de 100 jours et le coder en Python

    Solution
    pic-epidemie.py
    periode = 100

sains = [1]
malades = [0]

for jourPrecedent in range(periode) :
    sains.append(sains[jourPrecedent]*0.95)
    malades.append(malades[jourPrecedent] * 0.8 + sains[jourPrecedent] * 0.05)

print(f"Pic de l'épidémie atteint au jour n° {malades.index(max(malades))}")

  2. Faire un script Python qui trace l’évolution de la population saine et de la population malade.
    Vérifier graphiquement le jour du pic de l’épidémie

    courbes evolution epidemie
    Exemple de résultat attendu
    Solution
    suite-epidemie-courbe.py
    import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.ticker as ticker

print(">>>> Etude de la propagation d'une maladie <<<<\n");

# Saisie valeur initiale
periodeEtude = int(input("Saisir la période d'étude en nombres de jours : "))

# Calcul des termes de la suite
sains = [1]
malades = [0]

for jourPrecedent in range(periodeEtude) :
    sains.append(sains[jourPrecedent]*0.95)
    malades.append(malades[jourPrecedent] * 0.8 + sains[jourPrecedent] * 0.05)

# Création d'une figure
fig = plt.figure()

# Ajout des courbes de population saine et malade dans la figure
courbeSains = fig.add_subplot(1 # nrows
    , 1 # ncols
    , 1 # index
    , xscale='linear'
    )
courbeSains.set_xlabel('jour')
courbeSains.set_ylabel('Population saine')

courbeMalades = courbeSains.twinx() # 2ème courbe qui partage le même axe des x mais pas celui des y
courbeMalades.set_ylabel('Population malade')

# Tracé des courbes
courbeSains.xaxis.set_major_locator(ticker.MaxNLocator(integer = True))
plotSains = courbeSains.plot(range(periodeEtude+1), sains, label="Population saine", color="green")

courbeMalades.set_ylim(top=max(malades)*1.2)
plotMalades = courbeMalades.plot(range(periodeEtude+1), malades, label="Population malade", color="red")

# Mise en place des légendes
courbes = plotSains + plotMalades
legendes = [c.get_label() for c in courbes]
courbeSains.legend(courbes, legendes, loc=0)

# Configuration des grilles
courbeSains.grid(which='major', axis='x', color='lightgray')

# Affichage de la courbe
plt.tight_layout()
plt.show()

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